Über den 4D-Viewer
Der 4D-Viewer zeigt vierdimensionale Polytope, auch Polychora genannt, direkt im Browser. Wähle oben in den Menüs eine Form und drehe sie: Eine Drehung im gewöhnlichen 3D-Raum dreht das Bild, das du siehst, eine Drehung durch die vierte Dimension W dagegen verändert das Bild selbst, weil andere Teile der Form auf dich zukommen.
Die Zellen sehen, nicht nur die Kanten
Ein Polyeder wird von Polygonen begrenzt, seinen Flächen. Ein vierdimensionales Polytop wird von Polyedern begrenzt, seinen Zellen: Der Tesserakt (auch Hyperwürfel genannt) zum Beispiel wird von acht Würfeln begrenzt. Der Viewer zeichnet diese Zellen als feste Körper statt als Gewirr von Linien, sodass du siehst, aus welchen Polyedern eine Form besteht und wie sie zusammenpassen.
„Zellengröße“ verkleinert jede Zelle zu ihrem eigenen Mittelpunkt hin und öffnet Lücken zwischen ihnen, sodass du auch in die kompliziertesten Formen hineinsehen kannst. Unter „Zellgruppen“ kann jede Art von Zelle eine eigene Farbe bekommen oder ausgeblendet werden, und „Culling“ zeigt auf Wunsch nur die Zellen, die dir in 4D zugewandt sind, oder nur die abgewandten.
4D-Polytope zu 3D-Netzen auffalten
Ein Würfel lässt sich zu sechs Quadraten auffalten, die flach auf dem Tisch liegen. Genauso lässt sich ein vierdimensionales Polytop zu seinen Zellen auffalten, die Fläche an Fläche verbunden im gewöhnlichen 3D-Raum liegen. Das ist sein Netz, und jede Form im Viewer hat eines.
Bewege den Regler „Falten“, um das Netz in die vierte Dimension zusammenzufalten und wieder aufzufalten. Beim Falten siehst du, welche Zellen Nachbarn sind und wie eine Form, die nicht in unseren Raum passt, aus Teilen zusammengesetzt ist, die hineinpassen.
Durch die vierte Dimension drehen
Eine Drehung bewegt Dinge innerhalb einer Ebene. Der gewöhnliche Raum hat drei solche Ebenen, X-Y, X-Z und Y-Z; der vierdimensionale Raum hat drei weitere, W-X, W-Y und W-Z, die die vierte Richtung W einbeziehen und in unserer Umgebung kein Gegenstück haben. Die Regler unter „4D-Rotation“ und „3D-Rotation“ lassen jede Ebene mit eigener Geschwindigkeit drehen.
Mit der Maus drehst du durch Ziehen mit der linken Taste in 3D und mit der rechten Taste durch W; das Mausrad zoomt. Auf einem Touchscreen dreht ein Finger, und der Schalter „Ziehen dreht“ wählt zwischen 3D und W; mit zwei Fingern zoomt eine Spreiz- oder Kneifbewegung, ein Ziehen nach oben oder unten faltet das Netz zusammen und auf, und ein Ziehen zur Seite ändert die Zellengröße.
Von vier Dimensionen auf drei
Um auf dem Bildschirm gezeichnet zu werden, wird eine vierdimensionale Form zuerst in drei Dimensionen projiziert, ähnlich wie eine Kamera eine 3D-Szene auf ein flaches Foto projiziert. Der „Winkel“ unter „Projektion“ bestimmt, wie viel Perspektive diese Projektion hat: Bei null ist sie eine Parallelprojektion, und je größer der Winkel, desto größer werden die Teile der Form gezeichnet, die dir in 4D näher sind, und desto kleiner die weiter entfernten.
Mitten hinein mit VR und AR
Mit einem VR-Headset, dessen Browser WebXR unterstützt, stellt „VR starten“ die Form in den Raum um dich herum, in jeder gewünschten Größe, sodass du um sie herumgehen und von allen Seiten hineinschauen kannst. „AR starten (Passthrough)“ macht dasselbe über dem Kamerabild des echten Zimmers. Installiert werden muss nichts: Alles läuft im Browser.
Über 1.700 Formen
Der Viewer enthält die 47 konvexen uniformen 4-Polytope, die keine Prismen sind, darunter die sechs regulären; ihre Dualen, die 47 Catalanischen 4-Polytope; Duoprismen aus zwei Polygonen deiner Wahl; und über 1.600 weitere 4-Polytope, die meisten davon nichtkonvex, aus dem Katalog von Jonathan Bowers, geordnet nach seinen Kategorien.
Die Anzahl der Ecken, Kanten, Flächen und Zellen jedes konvexen uniformen 4-Polytops findest du in der 4D-Formen-Referenz, wo sich jede Form auch direkt in diesem Viewer öffnen lässt.
Formen für den Anfang
Selbst bauen
In 4D Builder, unserem Spiel auf Steam, baust du diese Formen selbst: Verbinde Zellen zu Netzen, falte sie durch die vierte Dimension zusammen und löse Rätsel darüber, wie sie zusammenpassen.