4D 뷰어 소개

4D 뷰어는 4차원 다포체를 브라우저에서 보여 줍니다. 위쪽 메뉴에서 도형을 고르고 회전시켜 보세요. 보통의 3D 공간에서 회전하면 보이는 그림이 돌아갈 뿐이지만, 네 번째 차원 W를 지나 회전하면 도형의 다른 부분이 앞으로 다가오면서 그림 자체가 바뀝니다.

모서리만이 아니라 셀을 보기

다면체는 다각형인 면으로 둘러싸여 있습니다. 4차원 다포체는 다면체인 셀로 둘러싸여 있습니다. 예를 들어 정팔포체(초입방체라고도 합니다)는 정육면체 8개로 둘러싸여 있습니다. 이 뷰어는 셀을 얽힌 선이 아니라 입체로 그리므로, 도형이 어떤 다면체로 이루어져 있고 그것들이 어떻게 맞물리는지 볼 수 있습니다.

“셀 크기”는 각 셀을 저마다의 중심 쪽으로 줄여 셀 사이에 틈을 만들므로, 아주 복잡한 도형도 안쪽까지 볼 수 있습니다. “셀 그룹”에서는 셀 종류마다 색을 따로 정하거나 숨길 수 있고, “컬링”은 4D에서 앞쪽을 향한 셀만, 또는 뒤쪽을 향한 셀만 보여 줄 수 있습니다.

4D 다포체를 3D 전개도로 펼치기

정육면체는 탁자 위에 평평하게 놓인 정사각형 6개로 펼칠 수 있습니다. 같은 방식으로 4차원 다포체는 면과 면으로 이어진 셀들로 펼쳐 보통의 3D 공간에 놓을 수 있습니다. 이것이 그 도형의 전개도이며, 뷰어의 모든 도형에는 전개도가 있습니다.

“접기” 슬라이더를 움직이면 전개도가 4차원으로 접혔다가 다시 펼쳐집니다. 접히는 모습을 보면 어떤 셀끼리 이웃하는지, 그리고 우리 공간에 들어맞지 않는 도형이 공간에 들어맞는 조각들로 어떻게 이루어지는지 알 수 있습니다.

네 번째 차원을 지나 회전하기

회전은 하나의 평면 안에서 물체를 돌리는 것입니다. 보통의 공간에는 X-Y, X-Z, Y-Z의 세 평면이 있고, 4차원 공간에는 네 번째 방향 W가 들어간 W-X, W-Y, W-Z의 세 평면이 더 있으며, 이 평면들은 우리 주변 세계에 대응하는 것이 없습니다. “4D 회전”과 “3D 회전” 아래의 슬라이더로 각 평면을 저마다의 속도로 계속 회전시킬 수 있습니다.

마우스로는 왼쪽 버튼으로 드래그하면 3D로, 오른쪽 버튼으로 드래그하면 W 방향으로 회전하고, 휠로 확대·축소합니다. 터치스크린에서는 한 손가락으로 회전하며 “드래그 회전” 스위치로 3D와 W 중에서 고릅니다. 두 손가락으로는 핀치로 확대·축소하고, 위아래로 드래그하면 전개도를 접고 펼치며, 옆으로 드래그하면 셀 크기가 바뀝니다.

4차원에서 3차원으로

화면에 그리기 위해 4차원 도형은 먼저 3차원으로 투영됩니다. 카메라가 3D 장면을 평평한 사진에 투영하는 것과 비슷합니다. “투영” 아래의 “각도”는 이 투영에 원근감을 얼마나 줄지 정합니다. 0이면 평행 투영이고, 각도가 커질수록 4D에서 가까운 부분은 크게, 먼 부분은 작게 그려집니다.

VR과 AR로 안에 들어가기

브라우저가 WebXR을 지원하는 헤드셋에서는 “VR로 보기”를 누르면 도형이 원하는 크기로 주변 공간에 놓이므로, 그 주위를 걸으며 모든 방향에서 안을 들여다볼 수 있습니다. “AR로 보기(패스스루)”는 같은 일을 헤드셋에 보이는 실제 방의 모습 위에서 합니다. 설치할 것은 없으며 모두 브라우저에서 실행됩니다.

1,700개가 넘는 도형

뷰어에는 각기둥 꼴을 제외한 47종의 볼록 고른 다포체(6종의 정다포체 포함), 그 쌍대인 47종의 카탈란의 다포체, 원하는 두 다각형으로 만드는 듀오프리즘, 그리고 Jonathan Bowers의 목록에 있는 1,600개가 넘는 다포체(대부분 비볼록)가 그의 분류에 따라 들어 있습니다.

볼록 고른 다포체 각각의 꼭짓점·모서리·면·셀 개수는 “4D 도형 참고 자료”에서 볼 수 있으며, 그곳에서 각 도형을 이 뷰어로 바로 열 수 있습니다.

4D 도형 참고 자료 보기